2009 Putnam B3

Call a subset $S$ of $\{1, 2, \dots, n\}$ *mediocre* if it has the following property:

Whenever $a$ and $b$ are elements of $S$ whose average is an integer, that average is also

an element of $S$. Let $A(n)$ be the number of mediocre subsets of $\{1,2,\dots,n\}$.

[For instance, every subset of $\{1,2,3\}$ except $\{1,3\}$ is mediocre, so $A(3) =7$.]

Find all positive integers $n$ such that $A(n+2) - 2A(n+1) + A(n) = 1$.

如果 $\{1, 2, \dots, n\}$ *mediocre* 的子集 $S$ 具有以下属性，则称其为 $S$：

每当 $a$ 和 $b$ 是 $S$ 的元素且其平均值为整数时，该平均值也是

$S$ 的一个元素。令 $A(n)$ 为 $\{1,2,\dots,n\}$ 的平庸子集的数量。

[例如，$\{1,2,3\}$ 中除 $\{1,3\}$ 之外的每个子集都是平庸的，因此 $A(3) =7$。]

找到所有满足 $A(n+2) - 2A(n+1) + A(n) = 1$ 的正整数 $n$。