2000 Putnam B3

Let $f(t)=\sum_{j=1}^N a_j \sin(2\pi jt)$, where each $a_j$ is real

and

$a_N$ is not equal to 0. Let $N_k$ denote the number of zeroes (including

multiplicities) of $\frac{d^k f}{dt^k}$.

Prove that

$$N_0\leq N_1\leq N_2\leq \cdots \text{ and } \lim_{k\to\infty} N_k =

2N.$$

[Editorial clarification: only zeroes in $[0, 1)$ should be counted.]

设 $f(t)=\sum_{j=1}^N a_j \sin(2\pi jt)$，其中每个 $a_j$ 都是实数

和

$a_N$ 不等于 0。令 $N_k$ 表示零的数量(包括

$\frac{d^k f}{dt^k}$ 的重数)。

证明

$$N_0\leq N_1\leq N_2\leq \cdots \text{ 和 } \lim_{k\to\infty} N_k =

2N.$$

[编辑澄清：仅应计算 $[0, 1)$ 中的零。]