题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2020.pdf。
Consider a horizontal strip of squares in which the first and the last square are black and the remaining squares are all white. Choose a white square uniformly at random, choose one of its two neighbors with equal probability,
and color this neighboring square black if it is not already black. Repeat this process until all the remaining white squares have only black neighbors. Let be the expected number of white squares remaining. Find
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\lim_{N \to \infty} \frac{w(N)}{N}.
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考虑一个由 个方块组成的水平条，其中第一个和最后一个方块是黑色的，其余的 个方块都是白色的。随机均匀地选择一个白色方块，以相等的概率选择它的两个邻居之一，
如果相邻的方块还不是黑色，则将其涂成黑色。重复此过程，直到所有剩余的白色方块只有黑色邻居。令 为剩余白色方块的预期数量。查找
$$
\lim_{N \to \infty} \frac{w(N)}{N}。
$$
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2020 年 Putnam A4 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？