内容 2003 · 225
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2003.pdf。
Show that for each positive integer n,
$$
n! = \prod_{i=1}^n \mathrm{lcm}\{1, 2, \dots, \lfloor n/i\rfloor\} .
$$
(Here denotes the least common multiple, and
denotes the greatest integer .)
证明对于每个正整数 n，
$$
嗯！ = \prod_{i=1}^n \mathrm{lcm}\{1, 2, \dots, \lfloor n/i\rfloor\} 。
$$
(这里表示最小公倍数，并且
表示最大整数 。)
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2003 年 Putnam B3 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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