2020 Putnam B1

For a positive integer $n$, define $d(n)$ to be the sum of the digits of $n$ when written in binary (for example, $d(13) = 1+1+0+1=3)$. Let

$$

S = \sum_{k=1}^{2020} (-1)^{d(k)} k^3.

$$

Determine $S$ modulo 2020.

对于正整数 $n$，将 $d(n)$ 定义为以二进制形式表示的 $n$ 的各位数字之和(例如，$d(13) = 1+1+0+1=3)$。让

$$

S = \sum_{k=1}^{2020} (-1)^{d(k)} k^3。

$$

确定 $S$ 以 2020 为模。