题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1996.pdf。
For any square matrix , we can define by the usual power
series:
$$
\sin A = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}.
$$
Prove or disprove: there exists a matrix with real
entries such that
$$
\sin A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1996 \\ 0 & 1 \end{array} \right).
$$
对于任何方阵，我们可以通过通常的幂来定义
系列：
$$
\sin A = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}。
$$
证明或反驳：存在一个 矩阵 ，其中实数为
条目使得
$$
\sin A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1996 \\ 0 & 1 \end{array} \right)。
$$
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1996 年 Putnam B4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？