2004 Putnam A4

Show that for any positive integer $n$ there is an integer $N$ such that

the product $x_1 x_2 \cdots x_n$ can be expressed identically in the form

$$

x_1 x_2 \cdots x_n =

\sum_{i=1}^N c_i

( a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{in} x_n )^n

$$

where the $c_i$ are rational numbers and each $a_{ij}$ is one of the

numbers $-1, 0, 1$.

证明对于任何正整数 $n$ 都有一个整数 $N$ 使得

乘积 $x_1 x_2 \cdots x_n$ 可以用以下形式相同地表示

$$

x_1 x_2 \cdots x_n =

\sum_{i=1}^N c_i

( a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{in} x_n )^n

$$

其中 $c_i$ 是有理数，每个 $a_{ij}$ 是其中之一

数字 $-1, 0, 1$。