1991 Putnam B1

For each integer $n \geq 0$, let $S(n) = n - m^2$, where $m$ is the

greatest integer with $m^2 \leq n$. Define a sequence

$(a_k)_{k=0}^\infty$ by $a_0 = A$ and $a_{k+1} = a_k + S(a_k)$ for $k

\geq 0$. For what positive integers$A$ is this sequence eventually constant?

对于每个整数 $n \geq 0$，令 $S(n) = n - m^2$，其中 $m$ 是

$m^2 \leq n$ 的最大整数。定义一个序列

$(a_k)_{k=0}^\infty$ 通过 $a_0 = A$ 和 $a_{k+1} = a_k + S(a_k)$ 得到 $k

\geq 0$。对于什么正整数$A$，这个序列最终是恒定的？