2018 Putnam A4

Let $m$ and $n$ be positive integers with $\gcd(m,n) = 1$, and let

$$

a_k = \left\lfloor \frac{mk}{n} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m(k-1)}{n} \right\rfloor

$$

for $k=1,2,\dots,n$.

Suppose that $g$ and $h$ are elements in a group $G$ and that

$$

gh^{a_1} gh^{a_2} \cdots gh^{a_n} = e,

$$

where $e$ is the identity element. Show that $gh= hg$. (As usual, $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer

less than or equal to $x$.)

设 $m$ 和 $n$ 为正整数，$\gcd(m,n) = 1$，并令

$$

a_k = \left\lfloor \frac{mk}{n} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m(k-1)}{n} \right\rfloor

$$

对于 $k=1,2,\dots,n$。

假设 $g$ 和 $h$ 是群 $G$ 中的元素，并且

$$

gh^{a_1} gh^{a_2} \cdots gh^{a_n} = e,

$$

其中 $e$ 是单位元素。表明 $gh= hg$。 (像往常一样，$\lfloor x \rfloor$ 表示最大整数

小于或等于 $x$。)