1994 Putnam B4

For $n \geq 1$, let $d_n$ be the greatest common divisor of the entries of

$A^n - I$, where

$$

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

\quad \text{ and } \quad

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

$$

Show that $\lim_{n \to \infty} d_n = \infty$.

对于 $n \geq 1$，令 $d_n$ 为以下条目的最大公约数

$A^n - I$，其中

$$

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

\quad \text{ 和 } \quad

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}。

$$

证明 $\lim_{n \to \infty} d_n = \infty$。