题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2022.pdf。
Assign to each positive real number a color, either red or blue. Let be the set of all distances such that there are two points of the same color at distance apart. Recolor the positive reals so that the numbers in are red and the numbers not in are blue. If we iterate this recoloring process, will we always end up with all the numbers red after a finite number of steps?
\smallskip
为每个正实数分配一种颜色，红色或蓝色。令 为所有距离 的集合，这样在距离 处有两个相同颜色的点。对正实数重新着色，使 中的数字为红色，不在 中的数字为蓝色。如果我们迭代这个重新着色过程，在有限数量的步骤之后，我们总是会得到所有红色的数字吗？
\小跳过
提示 1
先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。
提示 2
找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。
提示 3
把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2022 年 Putnam B3 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？