2005 Putnam B6

Let $S_n$ denote the set of all permutations of the numbers $1,2,\dots,n$.

For $\pi \in S_n$, let $\sigma(\pi) = 1$ if $\pi$ is an even permutation

and $\sigma(\pi) = -1$ if $\pi$ is an odd permutation.

Also, let $\nu(\pi)$ denote the number of fixed points of $\pi$.

Show that

$$

\sum_{\pi \in S_n} \frac{\sigma(\pi)}{\nu(\pi) + 1} = (-1)^{n+1}

\frac{n}{n+1}.

$$

令$S_n$ 表示数字$1,2,\dots,n$ 的所有排列的集合。

对于 $\pi \in S_n$，如果 $\pi$ 是偶排列，则令 $\sigma(\pi) = 1$

如果 $\pi$ 是奇数排列，则 $\sigma(\pi) = -1$。

另外，令 $\nu(\pi)$ 表示 $\pi$ 的固定点数。

表明

$$

\sum_{\pi \in S_n} \frac{\sigma(\pi)}{\nu(\pi) + 1} = (-1)^{n+1}

\frac{n}{n+1}。

$$