2015 Putnam B3

Let $S$ be the set of all $2 \times 2$ real matrices

$$

M = \begin{pmatrix} a & b \\

c & d \end{pmatrix}

$$

whose entries $a,b,c,d$ (in that order) form an arithmetic progression. Find all matrices $M$ in $S$ for which there is some integer $k>1$ such that $M^k$ is also in $S$.

令 $S$ 为所有 $2 \times 2$ 实数矩阵的集合

$$

M = \begin{pmatrix} a & b \\

c & d \end{pmatrix}

$$

其条目 $a,b,c,d$ (按该顺序)形成算术级数。查找 $S$ 中的所有矩阵 $M$，其中存在某个整数 $k>1$，使得 $M^k$ 也在 $S$ 中。