题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1987.pdf。
The sequence of digits
$$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 \dots
$$
is obtained by writing the positive integers in order. If the
-th digit in this sequence occurs in the part of the sequence in
which the -digit numbers are placed, define to be . For
example, because the 100th digit enters the sequence in the
placement of the two-digit integer 55. Find, with proof, .
数字序列
$$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 \点
$$
将正整数按顺序写入即可得到。如果
该序列中的第 个数字出现在序列的部分中
放置 位数字，将 定义为 。对于
例如，，因为第 100 位数字进入序列
两位整数的位置 55. 找到并证明 。
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1987 年 Putnam A2 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？