2011 Putnam A5

Let $F : \RR^2 \to \RR$ and $g : \RR \to \RR$ be twice
continuously differentiable functions with the following properties:

\item $F(u,u) = 0$ for every $u \in \RR$;
\item for every $x \in \RR$, $g(x) > 0$ and $x^2 g(x) \leq 1$;
\item for every $(u,v) \in \RR^2$, the vector $\nabla F(u,v)$ is either $\mathbf{0}$ or parallel to the vector $\langle g(u), -g(v) \rangle$.

Prove that there exists a constant $C$ such that for every $n\geq 2$ and any $x_1,\dots,x_{n+1} \in \RR$, we have

$$

\min_{i \neq j} |F(x_i,x_j)| \leq \frac{C}{n}.

$$

令 $F : \RR^2 \to \RR$ 和 $g : \RR \to \RR$ 为两倍

具有以下性质的连续可微函数：

\item $F(u,u) = 0$ 对于 \RR$中的每个$u；
\item 对于每个 $x \in \RR$、$g(x) > 0$ 和 $x^2 g(x) \leq 1$；
\item 对于\in \RR^2$中的每个$(u,v)，向量$\nabla F(u,v)$ 要么是$\mathbf{0}$，要么平行于向量$\langle g(u), -g(v) \rangle$。

证明存在一个常数 $C$，这样对于每个 $n\geq 2$ 和任何 $x_1,\dots,x_{n+1} \in \RR$，我们有

$$

\min_{i \neq j} |F(x_i,x_j)| \leq \frac{C}{n}。

$$