少广24 · 積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺

依密率，爲徑一萬四千六百四十三尺、四分尺之三。

立圓卽丸也。爲術者，蓋依周三徑一之率，令圓羃居方羃四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷爲方率十二，爲丸率九，丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除得徑也。然此意非也。何以驗之？取立方棊八枚，皆令立方一寸，積之爲立方二寸。規之爲圓囷，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棊皆似陽馬，圓然也。按：合蓋者，方率也。丸居其中，卽圓率也。推此言之，謂夫圓囷爲方率，豈不闕哉？以周三徑一爲圓率，則圓羃傷少；令圓囷爲方率，則丸積傷多。互相通補，是以丸與十六之率偶與實相近，而丸猶傷多耳。觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相𦆑，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者。黃金方寸，重十六兩。金丸徑寸，重九兩。率生於此，未曾驗也。周官考工記：“㮚氏爲量，改煎金錫則不耗。不耗，然後權之，權之然後凖之，凖之然後量之。”言錬金使極精而後分之，則可以爲率也。令丸徑自乘，三而一，開方除之，卽丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺爲句，句自乘羃二十五尺，倍之，得五十尺，以爲股羃，謂平面方五尺之弦也。以此弦羃爲股，亦以五尺爲句，并句股羃得七十五尺，是爲大弦羃。開方除之，則大弦可知也。大弦則中立方之長邪，邪卽丸徑也。故中立方自乘之羃，於丸徑自乘之羃三分之一也。令大弦還乘其羃，卽丸外立方之積也。大弦羃開之不盡，令其羃七十五再自乘之爲面，命得外立方積四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得積一百二十五尺。一百二十五尺自乘爲面，命得積一萬五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五約之，外立方積六百七十五尺之面，中立方積二十五尺之面也。張衡算又謂：立方爲質，立圓爲渾。衡言質之與中外之渾，六百七十五尺之面，開方除之不足一，謂外質積二十六也。內渾二十五之面，謂積五尺也。今徽令質言中渾，渾又言質，則二質相與之率，猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之率，推以言渾之率也。衡又言：“質六十四之面，渾二十五之面，質復言渾，謂居質八分之五也。”又云“方八之面，圓六之面，圓渾相推”，知其復以圓囷爲方率，渾爲圓率也，失之遠矣。衡說之自然，欲恊其陰陽奇耦之說，而不顧疎密矣。雖有文辭，斯亂道破義，病也。置外質積二十六，以九乘之，十六而一，得積一十四尺八分之五，卽質中之渾也。以分母乘全內子，得一百一十七，又置內質積五，以分母乘之，得四十，是爲質居渾一百一十七分之四十，而渾率猶爲傷多也。假令方二尺，方四面并得八尺也，謂之方周。其中令圓徑與方等，亦二尺也。丸半徑以乘圓周之半，卽圓羃也。半方以乘方周之半，卽方羃也。然則方周知方羃之率也，圓周知圓羃之率也。按如衡術，方周率八之面，圓周率五之面也。令方周六十四尺之面，卽圓周四十尺之面也。又令徑一尺，方周四尺，自乘得十六尺之面，是爲圓周率十二之面，而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率爲非是，故更著此法。然增周太多，過其實矣。臣淳風等謹按：祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷爲方率，丸爲圓率，乃設新法。祖暅之開立圓術曰：以二十一乘積，十一而一，開立方除之，卽立圓徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞於左後之下隅，從規去其右上之亷，又合而横規之，去其前上之亷、右前之亷。於是立方之棊分而爲四。規內棊一，謂之內棊規外棊三，謂之外棊規。更合四棊，復橫斷之。以句股言之，令餘高爲句，內棊斷上方爲股，本方之數，其弦也。句股之法，以句羃減弦羃，則餘爲股羃。若令餘高自乘，減本方之羃，餘卽內減棊斷上方之羃也。本方之羃，卽外四棊之斷上羃。然則餘高自乘，卽外三棊之斷上羃矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸同而塗殊者爾。而乃控遠以演類，借况以析㣲。按陽馬方高數參等者，列而立之，横截去上，則高自乘與斷上羃數亦等焉。夫疊棊成立積，緣羃勢旣同，則積不容異。由此觀之，規之外三棊旁蹙爲一，卽一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內棊居二，可知矣。合八小方成一大方，合八內棊成一合蓋。內棊居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗矣。置三分之二，以圓羃率三乘之，如方羃率四而一，約而定之，以爲丸率，故曰“丸居立方三分之一”也。等數旣密，心亦昭晰。張衡放舊，貽哂於後；劉徽循故，未暇校新，夫豈難哉？抑未之思也。依密率立此圓積，本以圓徑再自乘，十一乘之，二十一而一，約此積。今欲求其本積，故以二十一乘之，十一而一。凡物再自乘，開立方除之，復其本數，故立方除之，卽丸徑也。