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数学 / 九章算术 / 均输卷第 3 题

均输3 · 均賦粟:甲縣二萬五百二十戸,粟一斛二十錢,自輸其...

今有均賦粟:甲縣二萬五百二十戸,粟一斛二十錢,自輸其縣;乙縣一萬二千三百一十二戸,粟一斛十錢,至輸所二百里;丙縣七千一百八十二戸,粟一斛十二錢,至輸所一百五十里;丁縣一萬三千三百三十八戸,粟一斛十七錢,至輸所二百五十里;戊縣五千一百三十戸,粟一斛十三錢,至輸所一百五十里。凡五縣賦輸粟一萬斛,一車載二十五斛,與僦一里一錢。欲以縣戸賦粟,令費勞等。問縣各粟幾何?

荅曰:

甲縣三千五百七十一斛、二千八百七十三分斛之五百一十七;

乙縣二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十;

丙縣一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六;

丁縣一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三;

戊縣九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

術曰:以一里僦價乘至輸所里,以一車二十五斛除之,加一斛粟價,則致一斛之費。各以約其戸數爲衰。甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十,副并爲法。所賦粟乘未并者,各自爲實,實如法而一。

此以出錢爲均也。問者曰:“一車載二十五斛,與僦一里一錢。”一錢卽一里僦價也。以乘里數者,欲知僦一車到輸所所用錢也。甲自輸其縣,則無取僦價也。欲知僦一斛所用錢。加一斛之價於一斛僦直,卽凡餘粟取僦錢也。甲一斛之費二十,乙、丙各十八,丁二十七,戊十九也。言使甲二十戸共出一斛,乙、丙十八戸共出一斛,計其所費,則皆戸一錢,故可爲均賦之率也。各置所當出粟,以其十斛之費乘之,如戸數而一,得率,戸出三錢、二千八百七十三分錢之一千三百八十一。臣淳風等謹按:此以出錢爲均。問者曰:“一車載二十五斛,與僦一里一錢。”一錢,卽一里僦價也。以乘里數者,欲知僦一車到輸所用錢,甲自出其縣,則無取僦之價。以一車二十五斛除之者,欲知僦一斛所用錢,加一斛之價於一斛僦直,卽凡餘粟取僦錢。甲一斛之費二十,乙、丙各十八,丁二十七,戊十九,各以約其戸爲衰。甲衰一千二十六,乙衰六百八十四,丙衰三百九十九,丁衰四百九十四,戊衰二百七十。言使甲二十戸共出一斛,乙、丙十八戸共出一斛,計其所費,則皆戸一錢,故可爲均賦之率也。於今有術,副并爲所有率,未并者各爲所求率,賦粟一萬斛爲所有數,此今有衰分之義也。計經賦之率,旣有戸算之率,亦有遠近貴賤之率。此二率者,各自相與通,通則甲二十,乙十二,丙七,丁十三,戊五。一斛之費爲之錢率。錢率約戸率者,則錢爲母,戸爲子。子不齊,令母互乘爲齊,卽衰也。若其不然,以一斛之費約戸數取衰,竝有分,當通分内子約之,於算甚䌓。此一章皆相與通功共率,畧相依似。以上二率,下一率亦可放此,從其簡易而已。又以分言之,使甲一戸出二十分斛之一,乙一戸出十八分斛之一,各以戸數乘之,亦可得一縣。凡所當輸,俱爲衰也。乘之者,乘其子,母報除之。以此觀之,則以一斛之費約戸數者,其意不異矣。然則可置一斛之費而反衰之,約戸以乘戸率爲衰也。合分注曰:“母除爲率,率乘子爲齊。”反衰注曰:“先同其母,各以分母約其子,爲反衰。”以施其率,爲算旣約,且不妨處下也。

先把户数、道路、车乘或役夫统一成权重,再让总额按权重分派。

本题的现代读法:先保留原文的单位和数量关系,不急着换成十进制;第二步把术文的乘、除、开方、消元或比例分配翻成今天的算式;最后再核对答数和单位。